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球體計算

中國視聽網(wǎng)資訊 更新時間:2010-12-16 11:08:41  編輯:清風(fēng)斬月  [ ]     手機訪問

  球體的定義

  定義:空間中到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做球。

  球面是一個連續(xù)曲面的立體圖形,由球面圍成的幾何體稱為球體。

  球體的組成

  球的表面是一個曲面,這個曲面就叫做球面。

  球和圓類似,也有一個中心叫做球心。

  星體,特指“地球”。

  數(shù)學(xué)中的球體

  球體基本概念

  半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。

  球面所圍成的幾何體叫做球體,簡稱球。

  半圓的圓心叫做球心。

  連結(jié)球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。

  連結(jié)球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。

  球體性質(zhì)

  用一個平面去截一個球,截面是圓面。球的截面有以下性質(zhì):

  1 球心和截面圓心的連線垂直于截面。

  2 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系:r^2=R^2-d^2

  球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓,被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做小圓。

  在球面上,兩點之間的最短連線的長度,就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度,我們把這個弧長叫做兩點的球面距離。

  球體函數(shù)

  半徑為r的球的函數(shù)為:r^2=x^2+y^2+z^2

  球體的計算公式

  半徑是R的球的體積 計算公式是:V=(4/3)πR^3(三分之四乘以π乘以半徑的三次方)

  V=(1/6)πd^3 (六分之一乘以π乘以直徑的三次方)

  半徑是R的球的表面積 計算公式是:S=4πR^2(4倍的π乘以R的二次方)

球體計算
圖1


  證明:

  證:V球=4/3*pi*r^3

  欲證V球=4/3pi*r^3,可證V半球=2/3pi*r^3

  做一個半球h=r, 做一個圓柱h=r(如圖1)

  ∵V柱-V錐

  = pi*r^3- pi*r^3/3

  =2/3pi*r^3

  ∴若猜想成立,則V柱-V錐=V半球

  ∵根據(jù)卡瓦列利原理,夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果所得的兩個截面面積相等,那么,這兩個立體圖形的體積相等。

  ∴若猜想成立,兩個平面:S1(圓)=S2(環(huán))

  1.從半球高h點截一個平面 根據(jù)公式可知此面積為pi*(r^2-h^2)^0.5^2=pi*(r^2-h^2)

  2.從圓柱做一個與其等底等高的圓錐:V錐 根據(jù)公式可知其右側(cè)環(huán)形的面積為pi*r^2-pi*r*h/r=pi*(r^2-h^2)

  ∵pi*(r^2-h^2)=pi*(r^2-h^2)

  ∴V柱-V錐=V半球

  ∵V柱-V錐=pi*r^3-pi*r^3/3=2/3pi*r^3

  ∴V半球=2/3pi*r^3

  由V半球可推出V球=2*V半球=4/3*pi*r^3

  證畢

  當(dāng)然,求球體體積的方法很多,較容易讓人理解的是用重積分的方法

  解:積分區(qū)域如圖

球體計算
積分區(qū)域,圓的半徑為r


球體計算

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